Étude des harmoniques d'une guitare

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Introduction

Avant d’entrer dans l’étude des harmoniques d’une guitare, il est nécessaire de s’intéresser à la façon dont ses frettes sont réparties sur le manche. Ce résultat sera en effet réutilisé pour comprendre quelles sont les fréquences des ondes stationnaires utilisables et à quelles notes elles correspondent. En plus du tableau des harmoniques "disponibles" sur une guitare, nous allons pouvoir justifier ainsi la méthode d’accordage de la guitare avec les harmoniques.

Disposition des frettes d'une guitare

Dans une gamme, la note fondamentale est séparée de sa première octave par 12 demi-tons. Chaque case de la guitare générant une note à un demi-ton de sa voisine, la douzième frette est donc le milieu de la corde, car une octave est le résultat du doublement de la fréquence de la corde, qui équivaut à diminuer sa longueur de moitié. Ainsi, considérons ln la longueur de la corde au niveau de la nième case et donc par extension l0, la longueur de la corde à vide.

Le fait que chaque case est située à un demi-ton de sa précédente signifie que monter d’une case correspond à multiplier la fréquence de la corde par une valeur fixe, noté r, et donc à diviser la longueur de la corde par ce même nombre. r constitue de ce fait la raison d’une suite géométrique telle que car la douzième case correspond à l’octave, d’où

La longueur de la corde entre la frette n et le chevalet est donc donnée par la formule :

Calcul des harmoniques

Réaliser une harmonique sur une corde consiste à effleurer de la pulpe d’un doigt de la main gauche (pour un droitier) un point de la corde correspondant à la division de celle-ci par un nombre entier, et de faire sonner la corde de la main droite. Ainsi, une onde stationnaire est générée, comportant un nombre de ventres correspondant au facteur de division de la corde. La note résultante a une fréquence correspondant à celle de la corde à vide multipliée par ce facteur de division.

L’évaluation de cette note est la clé de cette étude, car rien ne l’oblige à faire partie de la gamme occidentale, constituée de notes discrètes (tous les demi-tons), du fait qu’elle peut parfaitement se trouver entre deux. Les octaves (nombre de ventres correspondant à une puissance de 2) constituent a priori les seules harmoniques rigoureusement justes.

Les harmoniques octaves

La première harmonique d’une corde est évidente. Il s’agit de couper la corde en deux, au niveau de la douzième case, pour obtenir l’octave de la corde à vide.

Une autre harmonique donne une note facilement évaluable. En effet, le quart de la corde correspond environ à la cinquième frette. Cette harmonique est donc à deux octaves précisément de la note obtenue avec la corde à vide.

Les harmoniques octaves suivantes, c’est à dire la corde de longueur divisée par 8, 16, ou plus, ne sont pas exploitables musicalement, du fait de leur trop faible puissance. Elles ne feront donc pas partie de cette étude.

Les autres harmoniques

La remarque sur la puissance des harmoniques s’applique également aux autres harmoniques. L’expérience montre que le plus grand facteur de division réellement exploitable est 5.

Harmonique de rang 3

Le tiers de la corde est obtenu approximativement à la septième frette. La note obtenue a une fréquence de 3 fois celle de la corde à vide. Evaluons à quelle note cette fréquence correspond, en recherchant de combien de demi-tons il faut monter sur la pour l’obtenir.

Si n est le nombre de demi-tons et f0 la fréquence de la corde à vide, il faut donc :

  d’où  , ce qui donne :

Nous pouvons constater que cette harmonique est extrêmement proche de la note située à 9 tons ½ de la corde à vide, c’est à dire à 3 tons ½ de son octave (une octave comporte 6 tons). Elle peut être utilisée comme une note de la gamme, car la divergence de fréquence est très faible : 0,0195 demi-tons, soit environ 0,01 tons, ce qui est imperceptible.

Harmonique de rang 5

Le cinquième de la corde est obtenu approximativement à la quatrième frette. Il est possible d’obtenir également l’harmonique à la neuvième frette. Dans ce cas, il existe deux ventres entre le sillet et la neuvième frette, et 3 entre celle-ci et chevalet.

La note obtenue a une fréquence de 5 fois celle de la corde à vide. De la même façon que précédemment, nous pouvons obtenir le nombre de demi-tons au dessus de la note de la corde à vide :

La note la plus proche est donc située à 28 demi-tons de la corde à vide, soit à 2 octaves et 2 tons de celle-ci. Nous constatons cependant que cette fois ci, la divergence entre la note juste et l’harmonique est perceptible, ce qui fait que l'harmonique de rang 5 sonnera faux pour une oreille exercée. La divergence est de 0,137 demi-tons soit environ 0,07 tons, ce qui est sept fois plus que les divergences obtenues avec les autres harmoniques étudiées.

 Synthèse des harmoniques de la guitare

Corde

Rang 1

Corde à vide

fondamentale

Rang 2

12ème frette

Octave
(juste)

Rang 3

7ème frette

Octave+3 tons ½
(+0,01 tons)

Rang 4

5ème frette

Deux octaves
(justes)

Rang 5

4ème ou 9ème frette

2 octaves + 2 tons
(-0,07 tons)

1

mi

mi

si

mi

sol#

2

la

la

mi

la

do#

3

la

fa#

4

sol

sol

sol

si

5

si

si

fa#

si

ré#

6

mi

mi

si

mi

sol#

Remarque : Toutes les notes peuvent être produites avec les harmoniques de guitare, sauf do, fa et la#.

Application à l'accordage de la guitare

La guitare peut être accordée avec une grande précision grâce aux harmoniques, du fait que l’on peut se départir de l’incertitude qui existe toujours sur la position des frettes. En effet, le tableau montre que chaque corde peut être accordée en fonction de la précédente, dans le sens de la plus grave vers la plus aigüe.

Hormis entre la quatrième et la cinquième corde, l’accord quasiment parfait est obtenue pour ces cordes en ajustant la note produite par son harmonique de rang 3 (7ème case) avec l’harmonique de rang 4 (5ème case) de la précédente.

La cinquième corde, elle peut être ajustée en faisant coïncider son harmonique de rang 3 (4ème case) avec l’harmonique de rang 4 (5ème case) de la quatrième corde. Cet accord étant beaucoup moins juste, nous préférerons accorder la cinquième corde à partir de la sixième (méthode des 5ème et 7ème cases), après avoir accordé la sixième corde avec la première, du fait qu'elles produisent la même note à vide. Cette méthode garantit de surcroît une beaucoup plus grande rigueur d'accordage, car la note de référence, mi, est sûre au niveau des deux cordes extrêmes.

Accordage au diapason

La méthode proposée permet de raccourcir au maximum la série d'accordages des cordes en fonction des précédentes et donc la multiplication des incertitudes.

L'accord au diapason permet d'obtenir le la de la deuxième corde. Le mi de la première corde en est déduit par la méthode proposée, ainsi que le de la troisième corde puis le sol de la quatrième corde. La sixième corde est accordée avec la première, ce qui permet de régler la cinquième. La guitare est maintenant accordée, il ne reste plus qu'à en jouer !

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